围城

今天去卫生间的时候,顺手在走道里抓了一本别人扔在那里的Journal of Economic Perspectives。我们的走道里到处都是这样没人要的经济学杂志,我基本上也是每次去卫生间的时候都会抓上一本,翻一翻,以打发时间。我今天突然觉得,这样的生活是不是太无聊了,连上卫生间都读学术论文来打发时间。不过很快一件事情,就打消了这个念头。晚饭我和谷主从办公室往哈佛广场走,我们看着丘城桐(对,就是那位得费尔滋奖丘大师)领着一盒盒饭往办公室走(数学系和经济系比邻而居)。谷主不认识丘城桐,我自己一个人在心里感叹:丘城桐成名都30年了,不要说在华人数学界,在世界数学界都是泰斗一般的人物(有一天,我跟导师在科学中心的咖啡厅里买咖啡,碰见了丘城桐。他们很熟,寒暄了一下之后,丘城桐走了。导师问我,你认识他吗?我说,丘城桐在华人数学界是国王一样的人物,我怎么可能不认识。导师的回答很简单:He is also a king here, he is a king everywhere. (他在这也是一个国王,他在哪里都是国王),他的勤奋是能用眼睛看出来的。你每天看他的车就知道了,我来的时候已经停在那里了,我走的时候经常还没走,周末也来办公室。我上个卫生间读篇破论文,算什么啊。

不过今天倒真是读到一篇好玩的东西。我读的这本是1989年的JEP,所以估计对很多人这件事情并不新鲜,不过我是第一次看见。这篇文章讲的是这么一个悖论:

假设有两个信封,公开的信息是其中一个信封里的钱是另一个信封里的钱的两倍,然后把这两个信封分别给A和B两个人(假设这两个人风险中性)。然后,等A和B看到信封里的钱之后,你问A和B愿意不愿意和对方交换,其结果是双方都会表示愿意和对方交换,尽管双方都知道这样的交换必然有一个人会受损失。

为什么?

假设你打开信封,看到里面有X美元,那么有一半的可能性对方手里有2X,有一半的可能性对方手里有0.5X,那么按照概率算你跟对方交换所可能获得的收益是0.5*(2X)+0.5*(0.5X)=1.25X,大于你手上的X。因此,不管你看到信封里是多少钱,你都会觉得对方信封里,在概率意义上比你信封里的钱多,因此你都会愿意和对方交换。对方也是一样,觉得你信封里的钱,在概率意义上比他信封里的钱多,因此也愿意和你交换。于是,尽管清楚的知道两个人中的一个必然要吃亏,可是两个人都义无反顾的愿意和对方交换,这就成了一个悖论。

当然,有好些聪明的人解释了这跟悖论为什么未必是一个悖论,从不同的角度。但是,这不是我要说的。我觉得,这分明是一个《围城》的概率版。城外的人想进去,城里的人想出去,都觉得对方的位置好,因此都愿意和对方换位置。

这当然也是我和谷主吃饭的概率版:我们两如果下馆子吃不一样的菜,那我们总是会觉得对方碗里的比自己碗里的更好吃,特别是我。

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18 Responses to 围城

  1. Yao Amber说道:

    因为两个人都是风险中性的,多数人可能还是风险规避型,先保住手里的钱,就不冒风险交换了

  2. stedy说道:

    说是1.25X > X,难道说自己手里就是X吗?  有点搞笑

  3. stedy说道:

    我觉得跟风险中性没什么关系,完全是心理因素。毕竟换和不换的收益的期望和方差都是一样的。

  4. stedy说道:

    我傻了,为什么回帖不能删…………………………

  5. stedy说道:

    两种情况下的X不相等,能加吗?

  6. lethe说道:

    为什么不考虑不换的情况呢。如果不换,自己手里同样是一半概率2X,一半概率0.5X。算下来也是1.25X。两者相比就抵消了。

  7. autoxbc说道:

    和围城与吃饭不同的是,交换信封后,之前的收益就完全清除了,而围城和吃饭的收益是有残留的(体验)。从另一个角度看,如果是下叉前做这个试验,就不会倾向交换。

  8. roger说道:

    有个小错误,是丘成桐不是丘城桐

  9. Zhiyun说道:

    This is a well-known paradox of ambiguity, a very hot topic in decision theory.

  10. Rov说道:

    不一定是2倍,设为x倍,一样成立x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时为等式),高中数学知识

  11. Xin说道:

    邱先生真勤奋啊

  12. 说道:

    唉,
    我这样的人天赋有问题,
    但是得向大师学习勤奋。

  13. 晓刚说道:

    “结果是双方都会表示愿意和对方交换”,感觉结论有问题,至少是我就不会交换,周边的人大多也不会交换

  14. 晓刚说道:

    对了,可能是像我这样的普通人不会在统计之列,呵呵

  15. Star说道:

    我觉得可能和每个人的期望值有关——比如我觉得100块就已经满足了,然而袋子里面只有20块,那么我一定会换——因为如果换到了10块,和20块区别不大,而如果是40,就离我的期望值近一点了。而如果一开始就拿到了500块……那我是不会冒着失去一半的风险去交换的。so,这个还要加上两个变量:1、心理预期;2、风险承受能力。

  16. keanu说道:

    你这个计算公式有问题啊。只要对方手里的钱跟你不一样多,算出来的收益永远都大于本金。实际结果除了2X就是0.5X,非此即彼,你不可能同时拥有两个结果,全部收益 = ∑每种投资收益结果*每种投资的概率,这是思维的错觉,要是用这样的公式计算风险指导投资,那就完蛋了。

  17. Lin说道:

    Nash equilibrium…

  18. 玉伟说道:

    对丘大师和博主的精神深为敬佩,要学习……

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